已知函数f(x)=lnx-ax+a(a∈R),g(x)=x2+2x+m(x<0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=0,函数y=f(x)在A(2,f(2)
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已知函数f(x)=lnx-ax+a(a∈R),g(x)=x2+2x+m(x<0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若a=0,函数y=f(x)在A(2,f(2))处的切线与函数y=g(x)相切于B(x0,g(x0)),求实数m的值. |
答案
(1)∵f(x)=lnx-ax+a(a∈R), ∴f′(x)=,x>0, 若a≤0,则f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若a>0,则当x∈(0,)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,)上单调递增,当x∈(,+∞)时,f′(x)<0, ∴f(x)在∈(,+∞)上单调递减; (2)当a=0时,f(x)=lnx,f′(x)=, ∴f′(2)=, ∴函数y=f(x)在A(2,f(2))处的切线方程为y=(x-2)+ln2, 又函数y=g(x)在B(x0,g(x0))处的切线方程为y=(2x0+2)(x-x0)+x02+2x0+m, 整理得y=(2x0+2)x-x02+m, 由已知得, 解得x0=-,m=-+ln2. |
举一反三
已知f(x)=x3-x2+6x+m2,其中m∈R, (1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线过点(-1,2),求m的值; (2)若∃x∈[0,3],f(x)≤m,求m的取值范围. |
若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则a+b等于( ) |
已知函数f(x)=x3-(2a+2)x2+bx+c,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=x-1,函数f(x)的导数y=f′(x)的图象关于直线x=2对称,求函数f(x)的解析式. |
曲线y=ex+1在点A(0,1)处的切线斜率为( ) |
已知平面向量=(,-1),=(,), (1)证明:⊥; (2)若存在不同时为零的实数k和g,使=+(g2-3),=-k+g,且⊥,试求函数关系式k=f(g); (3)椐(2)的结论,讨论关于g的方程f(g)-k=0的解的情况. |
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