(1)∵f(x)=x3-x2+6x+m2, ∴f′(x)=3x2-9x+6, ∴切线的斜率k=f′(0)=6,又切点(0,m2), 根据点斜式,可得斜线的方程为y-m2=6x,即y=6x+m2, ∵函数f(x)在点(0,f(0))处的切线过点(-1,2), ∴2=6×(-1)+m2, ∴m=±2. (2)∵∃x∈[0,3],f(x)≤m,则等价于x3-x2+6x≤m-m2在[0,3]有解, 令g(x)=x3-x2+6x, ∴x3-x2+6x≤m-m2在[0,3]有解,即g(x)min≤m-m2, 以下求g(x)在[0,3]的最小值, 令g′(x)=3x2-9x+6=0,解得x=1或x=2, 当x∈(0,1)时,g′(x)>0,即g(x)在(0,1)单调递增, 当x∈(1,2)时,g′(x)<0,即g(x)在(1,2)单调递减, 当x∈(2,3)时,g′(x)>0,即g(x)在(2,3)单调递增, ∴g(x)在x=2处取得极小值g(2)=2, 又∵g(0)=0,g(3)=, ∴g(x)min=0, ∴0≤m-m2,解得0≤m≤1, ∴m的取值范围为[0,1]. |