已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R)(1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行,求a的值(2)若函数f(x)
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R) (1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行,求a的值 (2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上不单调,求实数a的取值范围; (3)求所有的实数a,使得f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立. |
答案
(1)由题意得f"(x)=3x2+2ax-(2a+3),所以f"(-1)=3-2a-(2a+3)=2,解得a=-.4分 (2)函数的导数f"(x)=3x2+2ax-(2a+3)=(x-1)(3x+2a+3), 由f"(x)=0,得x=1或x=-,因为f(x)在区间(1,+∞)上不单调, 所以->1,故a<-3. (3)因为f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立.所以当x∈[-1,1]时,f(x)min>0, ①当-≥1即时,a≤-3时,函数f(x)在x∈[-1,1]上单调递增, 所以fmin(x)=f(-1)=a2+3a+2>0,解得a>-1或a<-2. 故a≤-3 11分 ②当-1<-<1,即-3<a<0时, 函数f(x)在[-1,-]上为增函数,在[-,1]上为减函数 所以fmin(x)=min{f(-1),f(1)}, 故 | f(-1)=a2+3a+2>0 | f(1)=a2-a-2>0 |
| | ,所以a>2或a<-2, 所以-3<a<-2 13分 ③当-≤-1即a≥0,函数f(x)在x∈[-1,1]上为减函数, 所以fmin(x)=f(1)=a2-a-2>0 所以a>2或a<-1, 故a>2 综上所述,实数a得取值范围为a>2或a<-2. 15分 |
举一反三
曲线y=x3-2x在点(1,-1)处的切线方程是( )A.x-y-2=0 | B.x-y+2=0 | C.x+y+2=0 | D.x+y-2=0 |
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设a为常数,求函f(x)=x-2lnx+2a的极值. |
函数 f(x)=lnx在点 M(x0,f(x0))处的切线与直线y=x+m平行,则x0=( ) |
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