(1)当x<1时,f′(x)=-3x2+2ax+b. 因为函数图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为16x+y+20=0,所以切点坐标为(-2,12), 所以 | f(-2)=8+4a-2b=12 | f′(-2)=-12-4a+b=-16 |
| | ,所以a=1,b=0; (2)由(1)得,当x<1时,f(x)=-x3+x2, 令f′(x)=-3x2+2x=0可得x=0或x=,故函数在(-1,0)和(,1)上单调递减,在(0,)上单调递增 ∴x<1时,f(x)的最大值为max{f(-1),f()}=f(-1)=2; 当1≤x≤2时,f(x)=clnx 当c≤0时,clnx≤0恒成立,f(x)≤0<2,此时f(x)在[-1,2]上的最大值为f(-1)=2; 当c>0时,f(x)在[-1,2]上单调递增,且f(2)=cln2 令cln2=2,则c=,∴当c>时,f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=cln2; 当0<c≤时,f(x)在[-1,2]上的最大值为f(-1)=2 综上,当c≤时,f(x)在[-1,2]上的最大值为2,当c>时,f(x)在[-1,2]上的最大值为cln2; (3)f(x)=, 根据条件M,N的横坐标互为相反数,不妨设M(-t,t3+t2),N(t,f(t)),(t>0). 若t<1,则f(t)=-t3+t2, 由∠MON是直角得,•=0,即-t2+(t3+t2)(-t3+t2)=0, 即t4-t2+1=0.此时无解; 若t≥1,则f(t)=clnt. 由于MN的中点在y轴上,且∠MON是直角,所以N点不可能在x轴上,即t≠1. 同理由•=0,即-t2+(t3+t2)•clnt=0,∴c=. 由于函数g(t)=(t>1)的值域是(0,+∞),实数c的取值范围是(0,+∞)即为所求. |