已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)
题型:惠州模拟难度:来源:
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R). (1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式; (2)当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围; (3)对∀x∈[-1,1],都有|f′(x)|≤1,试求实数a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式. |
答案
(1)∵函数f(x)过点(-1,2),∴f(-1)=-a+b-c=2,① 由f′(x)=3ax2+2bx+c,函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y+2=0 ∴,∴,② 由①和②解得,故f(x)=x3-3x; (2)当a=1时,f(x)=x3+bx2+cx,∴f(1)=1+b+c,f(-1)=-1+b-c 可得:c=-1,b=∴f(2)=8+4b+2c=3f(1)+f(-1)+6 又由题意-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,∴-3≤3f(1)≤9, 故1≤3f(1)+f(-1)+6≤16, 即1≤f(2)≤16. (3)∵f′(x)=3ax2+2bx+c,则 | f′(0)=c | f′(-1)=3a-2b+c | f′(1)=3a+2b+c |
| | ,可得6a=f′(-1)+f′(1)-2f′(0) ∵当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,∴|f′(-1)|≤1,|f′(0)|≤1,|f′(1)|≤1 ∴6|a|=|f′(-1)+f′(1)-2f′(0)|≤|f′(-1)+f′(1)+2f′(0)|≤4 ∴a≤,故a的最大值, 当a=时, | |f′(0)|=|c|=1 | |f′(-1)|=|2-2b+c|=1 | |f′(1)|=|2+2b+c|=1 |
| | ,解得, ∴a取得最大值时f(x)=x3-x. |
举一反三
设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn,则log2014x1+log2014x2+log2014x3+…log2014x2013的值为( )A.-log20142013 | B.-1 | C.-1+log20142013 | D.1 |
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f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值,则实数c=______. |
已知函数f(x)=(a≠-2)的图象关于点(b,1)对称. (I)求a的值; (II)求函数f(x)的单调区间; (II)设函数g(x)=x3-3c2x-2c(c≤-1).若对任意x1∈[2,4],总存在x2∈[-1,0],使得f(x1)=g(x2)成立,求c的取值范围. |
若曲线f(x)=cosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则b=( ) |
曲线y=2x2在点(1,2)处的切线方程为______. |
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