已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)

已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)

题型:惠州模拟难度:来源:
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;
(2)当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围;
(3)对∀x∈[-1,1],都有|f′(x)|≤1,试求实数a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式.
答案
(1)∵函数f(x)过点(-1,2),∴f(-1)=-a+b-c=2,①
由f′(x)=3ax2+2bx+c,函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y+2=0





f(1)=-2
f′(1)=0
,∴





a+b+c=-2
3a+2b+c=0
,②
由①和②解得





a=1
b=0
c=-3
,故f(x)=x3-3x;
(2)当a=1时,f(x)=x3+bx2+cx,∴f(1)=1+b+c,f(-1)=-1+b-c
可得:c=
f(1)-f(-1)
2
-1,b=
f(1)+f(-1)
2
∴f(2)=8+4b+2c=3f(1)+f(-1)+6
又由题意-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,∴-3≤3f(1)≤9,
故1≤3f(1)+f(-1)+6≤16,
即1≤f(2)≤16.
(3)∵f′(x)=3ax2+2bx+c,则





f′(0)=c
f′(-1)=3a-2b+c
f′(1)=3a+2b+c
,可得6a=f′(-1)+f′(1)-2f′(0)
∵当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,∴|f′(-1)|≤1,|f′(0)|≤1,|f′(1)|≤1
∴6|a|=|f′(-1)+f′(1)-2f′(0)|≤|f′(-1)+f′(1)+2f′(0)|≤4
∴a
2
3
,故a的最大值
2
3

当a=
2
3
时,





|f′(0)|=|c|=1
|f′(-1)|=|2-2b+c|=1
|f′(1)|=|2+2b+c|=1
,解得





b=0
c=-1

∴a取得最大值时f(x)=
2
3
x3-x.
举一反三
设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn,则log2014x1+log2014x2+log2014x3+…log2014x2013的值为(  )
A.-log20142013B.-1
C.-1+log20142013D.1
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f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值,则实数c=______.
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已知函数f(x)=
x2+ax+1
x-1
(a≠-2)
的图象关于点(b,1)对称.
(I)求a的值;
(II)求函数f(x)的单调区间;
(II)设函数g(x)=x3-3c2x-2c(c≤-1).若对任意x1∈[2,4],总存在x2∈[-1,0],使得f(x1)=g(x2)成立,求c的取值范围.
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若曲线f(x)=cosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则b=(  )
A.-1B.0C.1D.2
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曲线y=2x2在点(1,2)处的切线方程为______.
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