已知函数f(x)=a+blnxx+1在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（I）求a，b的值；（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜m

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已知函数f(x)=

a+blnx

x+1

在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜

恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=

a+blnx

x+1

，∴f′(x)=

(x+1)-(a+blnx)

(x+1)2

∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1
∴有

2b-a

=-1

，∴

a=2

b=-1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

2-lnx

x+1

(x＞0)
由f(x)＜

及x＞0，可得

2x-xlnx

x+1

＜m
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，∴g(x)=

(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx)

(x+1)2

1-x-lnx

(x+1)2

令h（x）=1-x-lnx，∴h′(x)=-1-

＜0(x＞0)，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）_max=g（1）=1
要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．

举一反三

已知a＞0，函数f(x)=

a2x3-ax2+

，g(x)=-ax+1
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在（-1，1）上的极值；
（Ⅲ）若在区间[-

，

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

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已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，若-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，试求f（2）的取值范围；
（3）对∀x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，试求实数a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

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设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x_n，则log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃的值为（　　）

A．-log₂₀₁₄2013	B．-1
C．-1+log₂₀₁₄2013	D．1

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f（x）=x（x-c）²在x=1处有极小值，则实数c=______．

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已知函数f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)的图象关于点（b，1）对称．
（I）求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（II）设函数g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1）．若对任意x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求c的取值范围．

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