(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),求导数f′(x)=, 令f′(x)=0得x=e1-a, 当x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,∴f(x)是增函数; 当x∈(e1-a,+∞),f′(x)<0,∴f(x)是减函数; ∴f(x)在x=e1-a处取得极大值,f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值. (Ⅱ)①当e1-a<e2,即a>-1时, 由(Ⅰ)知,f(x)在(0,e1-a)上是增函数,在(e1-a,e2)上是减函数, ∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1…(7分) ∵若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点, ∴ea-1≥1 ∴a≥1 ∵a>-1,∴a≥1 ②当e1-a≥e2,即a≤-1时,f(x)在区间(0,e2]上是增函数, ∴f(x)在区间(0,e2]上的最大值为f(e2)= ∴原问题等价于≥1 ∴a≥e2-2 ∵a≤-1,∴无解 综上,实数a的取值范围是[1,+∞). (Ⅲ)证明:令a=1,由(Ⅰ)知,≤1(x>0),∴lnx≤x-1, ∵a1=1,假设ak≥1(k∈N*),则ak+1=lnak+ak+2>1,故an≥1(n∈N*) 从而an+1=lnan+an+2≤2an+1 ∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1) 即1+an≤2n, ∴an≤2n-1. |