设点P是曲线y=x2上的一个动点,曲线y=x2在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q,则PQ的最小值为______.
题型:盐城三模难度:来源:
设点P是曲线y=x2上的一个动点,曲线y=x2在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q,则PQ的最小值为______. |
答案
设P(x0,x02),由y=x2得y′|x=x0=2x0, 所以过点P且与直线l垂直的直线方程为y-x02=-(x-x0). 联立y=x2得:2x0x2+x-2x03-x0=0. 设Q(x1,y1),则x0+x1=-,所以x1=--x0, y1=x12=(--x0)2=+x02+1. 所以|PQ|= = = . 令t=4x02>0. g(t)=t+++3. 则g′(t)=1--=, 当t∈(0,2)时,g′(t)<0,g(t)为减函数, 当t∈(2,+∞)时,g′(t)>0,g(t)为增函数, 所以g(t)min=g(2)=. 所以PQ的最小值为. 故答案为. |
举一反三
曲线f(x)=ex-f(0)x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为______. |
函数y=ex•sinx+1在点(π,1)处的切线方程是______. |
已知函数f(x)=(x2+x-a)e(a>0). (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当x=-5时,f(x)取得极值. ①若m≥-5,求函数f(x)在[m,m+1]上的最小值; ②求证:对任意x1,x2∈[-2,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2. |
已知函数f(x)=ax2-ex(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数(e为自然对数的底数). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围; (3)若当x≥0时,不等式f(x)≤-x-1恒成立,求实数a的最大值. |
已知f(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)lnx(x>0,a是常数),若对曲线y=f(x)上任意一点P(x0,y0)处的切线y=g(x),f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围. |
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