已知函数f(x)=23x3-2x2+(2-a)x+1,其中a∈R.(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[2

已知函数f(x)=23x3-2x2+(2-a)x+1,其中a∈R.(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[2

题型:石景山区二模难度:来源:
已知函数f(x)=
2
3
x3-2x2+(2-a)x+1
,其中a∈R.
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值.
答案
(Ⅰ)f(x)的定义域为R,且 f"(x)=2x2-4x+2-a,当a=2时,f(1)=-
1
3
,f"(1)=-2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y+
1
3
=-2(x-1)
,即 6x+3y-5=0.(4分)
(Ⅱ)方程f"(x)=0的判别式为△=(-4)2-4×2×(2-a)=8a.
(ⅰ)当a≤0时,f"(x)≥0,所以f(x)在区间(2,3)上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]
上的最小值是f(2)=
7
3
-2a
;最大值是f(3)=7-3a.
(ⅱ)当a>0时,令f"(x)=0,得 x1=1-


2a
2
,或x2=1+


2a
2
.f(x)和f"(x)的情况如下:
举一反三
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x(-∞,x1x1(x1,x2x2(x2,+∞)
f"(x)+0-0+
f(x)
已知函数f(x)=
2
3
x3-2x2+(2-a)x+1
,其中a>0.
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[2,3]上的最小值.
已知函数f(x)=2aex+1,g(x)=lnx-lna+1-ln2,其中a为常数,e=2.718…,函数y=f(x)的图象与坐标轴交点处的切线为l1,函数y=g(x)的图象与直线y=1交点处的切线为l2,且l1l2
(Ⅰ)若对任意的x∈[1,5],不等式x-m>


x
f(x)-


x
成立,求实数m的取值范围.
(Ⅱ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x.我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2.
设点P是曲线y=x2上的一个动点,曲线y=x2在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q,则PQ的最小值为______.
曲线f(x)=
f′(1)
e
ex-f(0)x+
1
2
x2
在点(1,f(1))处的切线方程为______.
函数y=ex•sinx+1在点(π,1)处的切线方程是______.