已知函数f(x)=ax•lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0(e为自然对数的底).(1)求实数a,b的值及f(x)的解析
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已知函数f(x)=ax•lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0(e为自然对数的底). (1)求实数a,b的值及f(x)的解析式; (2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值; (3)若关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,求实数k的取值范围. |
答案
(1)依题意有2e-f(e)-e=0,∴f(e)=e ∵f(x)=ax•lnx+b,∴f′(x)=alnx+a+b ∴f′(e)=alne+a+b=2,∴2a+b=2,∴b=2-2a ∵点(e,f(e))在函数f(x)=ax•lnx+b上 ∴f(e)=aelne+b=ae+b=e ∴ae+2-2a=e,∴a=1 ∴b=0,∴f(x)=xlnx; 故实数a=1,b=0,f(x)=xlnx …(4分) (2)h(x)=f(x)+f(t-x)=xlnx+(t-x)ln(t-x),h(x)的定义域为(0,t);…(5分) h′(x)=lnx+1-[ln(t-x)+1]=ln …(6分) 由h′(x)>0得<x<t;h′(x)<0得0<x<…(8分) ∴h(x)在(,t)上是增函数,在(0,)上是减函数 ∴h(x)min=h()=tln…(10分) (3)∵xlnx+(6-x)ln(6-x)=f(x)+f(6-x)=h(x) 由(2)知,h(x)min=h()=tln,∴t=6,h(x)min=h(3)=6ln3=ln729 ∵关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立, ∴ln(k2-72k)≤ln729 ∴ ∴-9≤k<0或72<k≤81…(13分) 故实数k的取值范围为[-9,0)∪(72,81].…(14分) |
举一反三
设曲线y=xn2+n (n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则数列{xn}前10项和等于( ) |
(理)已知f(x)=ax++2-2a(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行. (I)求a,b满足的关系式; (II)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围; (III)证明:1+++…+>(2n+1)+(n∈N+) |
若函数f(x)=tanx+在点P(, +)处的切线为l,直线l分别交x轴、y轴于点A、B,O为坐标原点,则△AOB的面积为______. |
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