给定曲线f(x)=ax3+x2(a≠0).(1)若a=1,过点P(1,2)引曲线的切线,求切线方程;(2)若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条,求点Q的坐标;(
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给定曲线f(x)=ax3+x2(a≠0). (1)若a=1,过点P(1,2)引曲线的切线,求切线方程; (2)若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条,求点Q的坐标; (3)若x∈(0,1)时,以曲线段上任一点为切点的切线斜率的绝对值不大于1,求实数a的取值范围. |
答案
(1)f(x)=x3+x2,f"(x)=3x2+2x ①当P(1,2)为切点时,切线斜率k=f"(1)=5,此时切线方程为y-2=5(x-1),即y=5x-3. ②当P(1,2)不是切点时,设切点为T(x0,x03+x02),切线斜率k=f"(x0)=3x03+2x0 另一方面,k=kPT= ∴=3+2,(-1)2(+1)=0 ∵x0≠1,∴x0=-1,∴T(-1,0),此时切线y=x+1 综上,所求的切线为y=5x-3或y=x+1. (2)设Q(x1,ax13+x12),以Q为切点时必然存在一条切线. 切线斜率k=f"(x1)=3ax12+2x1, 切线方程为:y-(ax13+x12)=3(ax12+2x1)(x-x1),联立曲线y=ax3+x2, 得(x-x1)[ax2+(ax1+1)x-2ax12-x1]=0, 由于这样的切线只有一条,所以上述关于x的方程只有一个根x1, 即二次方程ax2+(ax1+1)x-2ax12-x1=0只有一个根x1, 显然把x=x1代入满足,故△=(ax1+1)2+4a(2ax12+x1)=0 化简为:△=9a2x12+6ax1+1=(3ax1+1)2=0,解得x1=-,得Q(-,) (3)由题意得:-1≤3ax2+2x≤1,x∈(0,1)恒成立 ∴≤a≤ ∵=(-2)=[(-1)2-1]>-, =-(+2)=-[(+1)2-1]<-1, ∴-1≤a≤- |
举一反三
设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+1(0<a<1), (Ⅰ)求函数f(x)的极大值; (Ⅱ)记f(x)的导函数为g(x),若x∈[1-a,1+a]时,恒有-a≤g(x)≤a成立,试确定实数a的取值范围. |
已知x=2是函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex的一个极值点(e=2.718…).实数a的值为( ) |
曲线y=1n(x+2)在点P(-1,0)处的切线方程是( )A.y=x+1 | B.y=-x+1 | C.y=2x+1 | D.y=-2x+1 |
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曲线y=x2-x在点(2,0)处的切线方程为______. |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx,a,b∈R (1)曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1,求a,b的值. (2)已知f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,求证:0<a+b<2. |
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