已知函数f(x)=13ax3 +12ax2 -bx+b-1在x=1处的切线与x轴平行,若函数f(x)的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是______.
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已知函数f(x)=13ax3 +12ax2 -bx+b-1在x=1处的切线与x轴平行,若函数f(x)的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是______.
题型:厦门模拟
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
a
x
2
-bx+b-1
在x=1处的切线与x轴平行,若函数f(x)的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是______.
答案
求导函数可得f′(x)=ax
2
+ax-b
∵函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
a
x
2
-bx+b-1
在x=1处的切线与x轴平行
∴f′(1)=0
∴2a-b=0
∴b=2a
∴f′(x)=ax
2
+ax-2a=a(x+2)(x-1),
f(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
a
x
2
-2ax+2a-1
令f′(x)=a(x+2)(x-1)=0得x=-2或x=1
x∈(-∞,-2)时f′(x)的符号与x∈(-2,1)时f′(x)的符号相反,x∈(-2,1)时f′(x)的符号与x∈(1,+∞)时f′(x)的符号相反
∴函数在-2与1处取极值
∵图象经过四个象限
∴f(-2)•f(1)<0,即(
16a
3
-1
)(
5a
6
-1)<0
∴
3
16
<a<
6
5
故答案为:
3
16
<a<
6
5
举一反三
若
S
n
=
1
2
+
2
3
+
1
2
2
+
2
3
2
+…+
1
2
n
+
2
3
n
,则
lim
n→∞
S
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=e
x
(其中e=2.71828…)在x=1处的切线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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(1)计算
lim
n→∞
(1-
1
2
2
)(1-
1
3
2
)(1-
1
4
2
)…(1-
1
4
n
2
)
.
(2)若
lim
n→∞
(2n+
a
n
2
-2n+1
bn+2
)=1
,求
a
b
的值.
题型:不详
难度:
|
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计算:
lim
n→∞
3n+2
4n-1
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=a
x
2
+bx+c(
1
3
≤a≤1)
的图象过点A(0,1),且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行.
(Ⅰ)求b与c的值;
(Ⅱ)设f(x)在[1,3]上的最大值与最小值分别为M(a),N(a),求F(a)=M(a)-N(a)的表达式.
题型:不详
难度:
|
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