已知函数f(x)=2x+alnx,a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间(0,

已知函数f(x)=2x+alnx,a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间(0,

题型:朝阳区一模难度:来源:
已知函数f(x)=
2
x
+alnx
,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值.
答案
(Ⅰ)直线y=x+2的斜率为1.
函数y=f(x)的导数为f′(x)=-
2
x2
+
a
x

则f′(1)=-
2
1
+
a
1
,所以a=1.(5分)
(Ⅱ)f′(x)=(ax-2)/x2,x∈(0,+∞).
①当a=0时,在区间(0,e]上f′(x)=-2/x2,此时f(x)在区间(0,e]上单调递减,
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为F(e)=
2
e

②当
2
a
<0,即a<0时,在区间(0,e]上f′(x)<0,此时f(x)在区间(0,e]上单调递减,
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=
2
e
+a.
③当0<
2
a
<e,即a>
2
e
时,
在区间(0,  
2
a
)
上f′(x)<0,此时f(x)在区间(0,  
2
a
)
上单调递减;
在区间(
2
a
,  e]
上f′(x)>0,此时f(x)在区间(
2
a
,  e]
上单调递增;
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(
2
a
)=a+aln2.
④当
2
a
≥e
,即0<a≤
2
e
时,
在区间(0,e]上f′(x)≤0,此时f(x)在区间(0,e]上为单调递减,
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=
2
e
+a.
综上所述,当a≤
2
e
时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为
2
e
+a;
当a>
2
e
时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+aln
2
a
举一反三
已知函数f(x)=aln(2x+1)+bx+1.
(I)若函数y=f(x)在x=1处取得极值,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-3=0平行,求a的值;
(Ⅱ)若b=
1
2
,试讨论函数y=f(x)的单调性.
题型:不详难度:| 查看答案
lim
n→∞
(1-2x)n
存在,则x的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
a
x
+
1
2
a
x
-bx+b-1
在x=1处的切线与x轴平行,若函数f(x)的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是______.
题型:厦门模拟难度:| 查看答案
Sn=
1
2
+
2
3
+
1
22
+
2
32
+…+
1
2n
+
2
3n
,则
lim
n→∞
Sn
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=ex(其中e=2.71828…)在x=1处的切线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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