已知函数f(x)=x+xlnx.(1)求函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程;(2)若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立,求k的最大值.
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已知函数f(x)=x+xlnx. (1)求函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程; (2)若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立,求k的最大值. |
答案
(1)因为函数f(x)=x+xlnx,所以f"(x)=lnx+2,所以f"(1)=2, 则函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程y-1=2(x-1),即2x-y-1=0; (2)因为f(x)=x+xlnx,所以k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立, 即k(x-1)<x+xlnx,因为x>1, 也就是k<对任意x>1恒成立. 令g(x)=,则g′(x)=, 令h(x)=x-lnx-2(x>1),则h′(x)=1-=>0, 所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0, 所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4). 当1<x<x0时,h(x)<0,即g"(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g"(x)>0, 所以函数g(x)=在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增. 所以[g(x)]min=g(x0)===x0 [g(x)]min=g(x0)===x0∈(3,4). 所以k<[g(x)]min=x0 因为x0∈(3,4).故整数k的最大值是3. |
举一反三
已知y=x3-1与y=3-x2在x=x0处的切线互相垂直,则x0=( ) |
已知曲线y=ax3+bx2+cx+d满足下列条件: ①过原点;②在x=0处导数为-1;③在x=1处切线方程为y=4x-3. (Ⅰ) 求实数a、b、c、d的值; (Ⅱ)求函数y=ax3+bx2+cx+d的极值. |
曲线y=lnx+1在点A(1,1)处的切线方程为______. |
设f(x)=ex+x,若f′(x0)=2,则在点(x0,y0)处的切线方程为______. |
函数y=f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时,有极值10,则a=______,b=______. |
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