设函数f（x）=x-x2+alnx，此曲线在P（1，0）处的切线斜率为2．（1）求a的值． （2）试证明f（x）≤2x-2．
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设函数f（x）=x-x2+alnx，此曲线在P（1，0）处的切线斜率为2．
（1）求a的值．
（2）试证明f（x）≤2x-2． |
答案
（1）f′（x）=1-2x+，
由曲线在点P处的切线斜率为2，得f′（1）=2，即1-2+a=2，解得a=3，
故所求a值为3．
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），
则g（x）=x-x2+3lnx-2x+2=-x2-x+3lnx+2，
g′（x）=-2x-1+==，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
所以当x=1时g（x）取得极大值，也为最大值，g（1）=0，
所以g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-2，从而得证． |
举一反三
| 曲线y=x3+x-10上某点切线与直线4x-y+3=0平行，求切点坐标与切线方程． |
过曲线y=x4上一点，倾斜角为的切线方程为（ ）| A．4x-4y+3=0 | B．4x-4y+5=0 | C．4x-4y-3=0 | D．4x-4y-5=0 |
|
| 曲线y=和y=ax2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则实数a的值是（ ） |
已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值． |
| 已知y=x3-1与y=3-x2在x=x0处的切线互相垂直，则x0=（ ） |
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