已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,(x∈N*),其导函数记为fn′(x),且满足fn′[ax1+(1-a)x2] =f2(x2)-f2(x1) x2-
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已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,(x∈N*),其导函数记为fn′(x),且满足fn′[ax1+(1-a)x2] =f2(x2)-f2(x1) x2-
题型:不详
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来源:
已知定义在实数集上的函数
f
n
(x)=
x
n
,(x∈N
*
),其导函数记为f
n
′(x),且满足
f
n
′[a
x
1
+(1-a)
x
2
] =
f
2
(
x
2
)-
f
2
(
x
1
)
x
2
-
x
1
,其中a,x
1
,x
2
为常数,x
1
≠x
2
.设函数g(x)=f
1
(x)+mf
2
(x)-lnf
3
(x),(m∈R且m≠0).
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,求m的值;
(Ⅲ)求函数g(x)在x∈[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.
答案
(Ⅰ)∵f
2
(x)=x
2
f
2
"(x)=2x
∴
2[a
x
1
+(1-a)
x
2
] =
x
2
2
-
x
1
2
x
2
-
x
1
∴(x
1
-x
2
)(2a-1)=0
∵x
1
≠x
2
,∴
a=
1
2
;
(Ⅱ)∵f
1
(x)=xf
2
(x)=x
2
f
3
(x)=x
3
,∴g(x)=mx
2
+x-3lnx(x>0)
∴g′(x)=
2m
x
2
+x-3
x
∵函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,
∴该零点左右g′(x)同号,
∵m≠0,∴二次方程2mx
2
+x-3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=-
1
24
;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
a=
1
2
,k=g′(x)=2mx-
3
x
+1,k′=2m+
3
x
2
∵x∈[0,
1
2
],∴
3
x
2
∈[12,+∞)
∴①当-6≤m<0或m>0时,k′≥0恒成立,∴k=g′(x)在(0,
1
2
]上递增
∴当x=
1
2
时,k取得最大值,且最大值为m-5;
②当m<-6时,由k′=0,得x=
-
3
2m
,而
0<
-
3
2m
<
1
2
若x∈
(0,
-
3
2m
)
,则k′>0,k单调递增;
若x∈
(
-
3
2m
,
1
2
)
,则k′<0,k单调递减;
故当x=
-
3
2m
时,k取得最大值且最大值为
1-2
-6m
.
综上,k
max
=
m-5,(-6≤m<0或m>0)
1-2
-6m
,(m<-6)
举一反三
曲线y=x
2
+1上过点P的切线与曲线y=-2x
2
-1相切,求点P的坐标.
题型:不详
难度:
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与直线y=4x-1平行的曲线y=x
3
+x的切线方程是( )
A.4x-y=0
B.4x-y+2=0或4x-y-2=0
C.4x-y-2=0
D.4x-y=0或4x-y-4=0
题型:不详
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|
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如果函数
f(x)=-
2a
b
ln(x+1)
的图象在x=1处的切线l过点(
0,-
1
b
),并且l与圆C:x
2
+y
2
=1相离,则点(a,b)与圆C的位置关系是( )
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.不能确定
题型:不详
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函数f(x)=x
3
-x
2
+1在点(1,1)处的切线与函数g(x)=x
2
围成的图形的面积等于______.
题型:不详
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直线l过点(-1,3),且与曲线
y=
1
x-2
在点(1,-1)处的切线相互垂直,则直线l的方程为______.
题型:不详
难度:
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