(1)∵f(x)=x2-6x+4lnx,∴x>0,f′(x)=2x+-6, ∵f′(x)≥2-6=4-6>-6,故不存在6x+y+m=0这类直线的切线; 由2x+-6=3,解得x=,4. 当x=时,f()=--4ln2,把点(,--4ln2)代入方程3x-y+n=0,解得n=--4ln2; 当x=4时,f(4)=-8+4ln4,把点(4,-8+4ln4)代入方程3x-y+n=0,解得n=4ln4-20. (2)设点P(x0,f(x0))处的切线方程为l:y=g(x),则g(x)-(-6x0+4lnx0)=(2x0+-6)(x-x0), ∴g(x)=(-6x0+4lnx0)+(2x0+-6)(x-x0), 令φ(x)=f(x)-g(x)=x2-6x+4lnx-(-6x0+4lnx0)-(2x0+-6)(x-x0), 则φ(x0)=0. φ′(x)=2x+-6-(2x0+-6)=(x-x0)(x0-), 当x0<时,φ(x)在(x0,)上φ′(x)<0,∴φ(x)在此区间上单调递减, ∴x∈(x0,)时,φ(x)<φ(x0)=0. 从而x∈(x0,)时,<0. 当x0>时,φ(x)在(,x0)上φ′(x)<0,∴φ(x)在此区间上单调递减, ∴x∈(,x0)时,φ(x)>φ(x0)=0. 从而x∈(,x0)时,<0. ∴在(0,)∪(,+∞)不存在“类对称点”. 当x0=时, φ ′(x)=(x-)2,∴φ(x)在(0,+∞)上是增函数,故>0. 因此x=是一个“类对称点”的横坐标. |