设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t),则S(t)的最大值为______.
题型:不详难度:来源:
设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t),则S(t)的最大值为______. |
答案
因为f"(x)=(e-x)"=-e-x,所以切线l的斜率为-e-t, 故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t),即e-tx+y-e-t(t+1)=0 令y=0得x=t+1,又令x=0得y=e-t(t+1) 所以S(t)=(t+1)•e-1(t+1)=(t+1)2e-1 从而S′(t)=e-1(1-t)(1+t). ∵当t∈(0,1)时,S"(t)>0,当t∈(1,+∞)时,S"(t)<0, ∴S(t)的最大值为S(1)=. 故答案为: |
举一反三
在曲线y=x3+x-2的切线中,与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A.4x-y=0 | B.4x-y-4=0 | C.2x-y-2=0 | D.4x-y=0或4x-y-4=0 |
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已知函数f(x)=2x3-3x2-mx+n(m,n∈R),若函数在点(0,f(0))处的切线方程为y=-12x, (1)求m,n的值; (2)求函数f(x)在区间[-a,a](a>0)上的最大值. |
已知函数f(x)=x3-4x+4. (1)求函数f(x)的极值; (2)若x∈[0,3],求函数f(x)的最大值与最小值. |
已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( ) |
若曲线y=x4+mx在x=-1处的切线方程为2x+y+3=0,则m等于( ) |
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