已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调

已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
2
ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)=
1
2
ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)

f′(x)=ax-(2a+1)+
2
x
(x>0).
∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,
∴f"(1)=f"(3),
a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+
2
3

解得a=
2
3

(Ⅱ)f′(x)=
(ax-1)(x-2)
x
(x>0).
①当a≤0时,x>0,ax-1<0,
在区间(0,2)上,f"(x)>0;
在区间(2,+∞)上f"(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2),
单调递减区间是(2,+∞).
②当0<a<
1
2
时,
1
a
>2

在区间(0,2)和(
1
a
,+∞)
上,f"(x)>0;
在区间(2,
1
a
)
上f"(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(
1
a
,+∞)
,单调递减区间是(2,
1
a
)

③当a=
1
2
时,f′(x)=
(x-2)2
2x
,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当a>
1
2
时,0<
1
a
<2
,在区间(0,
1
a
)
和(2,+∞)上,f"(x)>0;
在区间(
1
a
,2)
上f"(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,
1
a
)
和(2,+∞),单调递减区间是(
1
a
,2)

(Ⅲ)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max
由已知,g(x)max=0,由(Ⅱ)可知,
①当a≤
1
2
时,f(x)在(0,2]上单调递增,
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2,
所以,-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1,
ln2-1<a≤
1
2

②当a>
1
2
时,f(x)在(0,
1
a
]
上单调递增,
[
1
a
,2]
上单调递减,
f(x)max=f(
1
a
)=-2-
1
2a
-2lna

a>
1
2
可知lna>ln
1
2
>ln
1
e
=-1

2lna>-2,-2lna<2,
所以,-2-2lna<0,f(x)max<0,
综上所述,a>ln2-1.
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax2+10,
(I)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(II)在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.
题型:包头一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1+2x1<f(x2)+2x2)恒成立,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设k∈R,函数f(x)=ex-(1+x+kx2)(x>0).
(Ⅰ)若k=1,试求函数f(x)的导函数f"(x)的极小值;
(Ⅱ)若对任意的t>0,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,都有f(x)<tx2,求实数k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知a>0,函数f(x)=ax2-x,g(x)=ln(ax)
(1)若直线y=kx-1与函数f(x)、g(x)相切于同一点,求实数a,k的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)≥g(x)成立,若存在,求出实数a的取值集合,不存在说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-
2
3

(1)求a、b、c、d的值;
(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论;
(3)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.