已知函数f(x)=1nx-x.(I)若不等式 xf(x)≥-2x2+ax-12对一切x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围(Ⅱ)若关于x的方程 f(x)-x
题型:太原一模难度:来源:
已知函数f(x)=1nx-x. (I)若不等式 xf(x)≥-2x2+ax-12对一切x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围 (Ⅱ)若关于x的方程 f(x)-x3+2ex2-bx=0恰有一解(e为自然对数的底数),求实数b的值. |
答案
(I)由题意得xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈(0,+∞)恒成立,即a≤lnx+x+对一切x∈(0,+∞)恒成立, 设g(x)=lnx+x+,x>0,则g′(x)=, 当0<x<3时,g′(x)<0,g(x)在(0,3)上单调递减,当x>3时,g′(x)>0,g(x)在(3,+∞)上单调递增, 所以g(x)min=g(3)=7+ln3, 所以a∈(-∞,7+ln3]; (Ⅱ)由题意得,lnx-x-x3+2ex2-bx=0在(0,+∞)上有唯一解,即=x2-2ex+(b+1)在(0,+∞)上有唯一解, 设h(x)=,x>0,则h′(x)=, 令h′(x)>0,则0<x<e;令h′(x)<0,则x>e, 所以h(x)max=h(e)=; 设k(x)=x2-2ex+(b+1),则k(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增, 所以k(x)min=k(e)=b+1-e2, 所以当且仅当b+1-e2=时,方程=x2-2ex+(b+1)在(0,+∞)上有唯一解, 所以b=e2+-1. |
举一反三
已知函数f(x)=mx3-x+,以点N(2,n)为切点的该图象的切线的斜率为3 (I)求m,n的值 (II)已知g(x)=-x2+(a+1)x(a>0),若F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值 1,试求实数a的取值范围. |
已知曲线y=x3-x2的切线方程为y=-x+b,则b的值是( ) |
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a<0)在x=0处取得极值-1. (1)设点A(-a,f(-a)),求证:过点A的切线有且只有一条;并求出该切线方程. (2)若过点(0,0)可作曲线y=f(x)的三条切线,求a的取值范围; (3)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))(x1≠x2)处的切线都过点(0,0),证明:f′(x1)≠f′(x2). |
已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+(y-1)2=1内切,记点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)设斜率为2的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离. |
已知函数f(x)=x3-x2-x+1,x∈R (1)求函数f(x)的极大值和极小值; (2)已知x∈R,求函数f(sinx)的最大值和最小值. (3)若函数g(x)=f(x)+a的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围. |
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