已知不等式12+13+…+1n>12[log2n],其中n为大于2的整数,[log2n]表示不超过log2n的最大整数.设数列{an}的各项为正,且满足a1=b

已知不等式12+13+…+1n>12[log2n],其中n为大于2的整数,[log2n]表示不超过log2n的最大整数.设数列{an}的各项为正,且满足a1=b

题型:湖北难度:来源:
已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
[log2n]
,其中n为大于2的整数,[log2n]表示不超过log2n的最大整数.设数列{an}的各项为正,且满足a1=b(b>0),an
nan-1
n+an-1
,n=2,3,4,….证明:an
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,….
答案
证明:设f(n)=
1
2
+
1
3
+
1
n
,首先利用数学归纳法证不等式an
b
1+f(n)b
,n=3,4,5.
(ⅰ)当n=3时,由a3
3a2
3+a2
=
3
3
a2
+1
3
3•
2+a1
2a1
+1
=
b
1+f(3)b
,知不等式成立.
(ⅱ)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即ak
b
1+f(n)b
,则ak+1
(k+1)ak
(k+1)+ak
=
k+1
k+1
ak
+1
k+1
(k+1)•
1+f(k)b
b
+1
=
(k+1)b
(k+1)+(k+1)f(k)b+b
=
b
1+(f(k)+
1
k+1
)b
=
b
1+f(k+1)b

即当n=k+1时,不等式也成立.
由(ⅰ)(ⅱ)知,an
b
1+f(n)b
,n=3,4,5..
又由已知不等式得an
b
1+
1
2
[log2n]b
=
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,…
举一反三
已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0的值为(  )
A.0B.-
2
3
C.0或-
2
3
D.0或1
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
函数f(x)=sin(3x-
π
6
)在点(
π
6


3
2
)处的切线方程是(  )
A.3x+2y+


3
-
π
2
=0
B.3x-2y+


3
-
π
2
=0
C.3x-2y-


3
-
π
2
=0
D.3x+2y-


3
-
π
2
=0
题型:不详难度:| 查看答案
若曲线y=
8
3
x2-1
与曲线y=1-4x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0=______.
题型:崇文区一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
alnx
x+1
+
b
x
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>
lnx
x-1
题型:不详难度:| 查看答案
lim
n→∞
(1+
2
n
)n
=______.
题型:浦东新区一模难度:| 查看答案
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