已知定义在R上的奇函数f(x)=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
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已知定义在R上的奇函数f(x)=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4成立. |
答案
(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴b=d=0,f(x)=x3+cx∴f"(x)=3x2+c ∵在x=±1处取得极值∴f"(1)=0∴c=-3 ∴f(x)=x3-3x; (2)证明:∵f"(x)=3x2-3 ∴令f"(x)=3x2-3=0,x=±1且-1<x<1时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减 ∵f(x)max=f(-1)=2,f(x)min=f(1)=-2 |f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=f(-1)-f(1)2+2=4. |
举一反三
已知函数f(x)=elnx,g(x)=e-1•f(x)-(x+1).(e=2.718…) (1)求函数g(x)的极大值; (2 )求证:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*); (3)对于函数f(x)与h(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,则称直线y=kx+b为函数f(x)与h(x)的“分界线”.设函数h(x)=x2,试探究函数f(x)与h(x)是否存在“分界线”?若存在,请加以证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由. |
曲线y=2x+sinx在点(π,2π)处的切线斜率为______. |
已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R) (1)若在f(x)的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值; (2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a取值范围; (3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试出实数m的值;若不存在,说明理由. |
y=在点(,)处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a为( ) |
已知函数f(x)=-x3+2f′(1)x,则函数f(x)在x=1处的切线方程为( )A.y=3x+8 | B.y=-3x+2 | C.y=3x-4 | D.y=-3x+8 |
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