已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤4.
答案
(1)∵f(x)=ax3+bx2-3x,
∴f"(x)=3ax2+2bx-3,
∵函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值,
∴f"(1)=f"(-1)=0…(3分)
即3a+2b-3=3a-2b-3=0,
解得a=1,b=0,
∴f(x)=x3-3x…(6分)
(2)证明:∵f(x)=x3-3x
∴f"(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)…(7分)
当-1<x<1时,f"(x)<0,
故f(x)在区间[-1,1]上为减函数 …(9分)
f(x)max=f(-1)=2,
f(x)min=f(1)=-2…(11分)
∴对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2
都有|f(x1)-f(x2)|
≤|f(x)max-f(x)min|
=2-(-2)=4…(12分)
举一反三
已知直线y=-2x-
2
3
与曲线f(x)=
1
3
x3-bx
相切.
(1)求b的值
(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2
求:①m的取值范围     ②比较x1x2+9与3(x1+x2)的大小.
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lim
x→1
x


x
-x
x-1
=(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.0D.不存在
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函数y=sinx在点(
π
3


3
2
)
处的切线的斜率为(  )
A.1B.
1
2
C.


2
2
D.


3
2
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
(1+x)n
+aln(x+1)
,其中n∈N*,a为常数.
(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1时,若b1,b2,…,bk均非负数,且b1+b2+…+bk=1,求证:f(b1)+f(b2)+…+f(bk)≤k+1.
题型:不详难度:| 查看答案
定义在R上的可导函数y=f(x)在x=1处的切线方程是y=-x+2,则f(1)+f"(1)=(  )
A.-1B.
1
2
C.2D.0
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