已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤4． |
答案
（1）∵f（x）=ax3+bx2-3x，
∴f"（x）=3ax2+2bx-3，
∵函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，
∴f"（1）=f"（-1）=0…（3分）
即3a+2b-3=3a-2b-3=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x3-3x…（6分）
（2）证明：∵f（x）=x3-3x
∴f"（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
当-1＜x＜1时，f"（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数 …（9分）
f（x）max=f（-1）=2，
f（x）min=f（1）=-2…（11分）
∴对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f（x1）-f（x2）|
≤|f（x）max-f（x）min|
=2-（-2）=4…（12分） |
举一反三
已知直线y=-2x-与曲线f(x)=x3-bx相切．
（1）求b的值
（2）若方程f（x）=x2+m在（0，+∞）上有两个解x1，x2．
求：①m的取值范围 ②比较x1x2+9与3（x1+x2）的大小． |
已知函数f(x)=+aln(x+1)，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，若b1，b2，…，bk均非负数，且b1+b2+…+bk=1，求证：f（b1）+f（b2）+…+f（bk）≤k+1． |
| 定义在R上的可导函数y=f（x）在x=1处的切线方程是y=-x+2，则f（1）+f"（1）=（ ） |
最新试题
热门考点