已知直线y=-2x-23与曲线f(x)=13x3-bx相切.(1)求b的值(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2.求:①m的取值范围
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已知直线y=-2x-23与曲线f(x)=13x3-bx相切.(1)求b的值(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2.求:①m的取值范围
题型:江西模拟
难度:
来源:
已知直线
y=-2x-
2
3
与曲线
f(x)=
1
3
x
3
-bx
相切.
(1)求b的值
(2)若方程f(x)=x
2
+m在(0,+∞)上有两个解x
1
,x
2
.
求:①m的取值范围 ②比较x
1
x
2
+9与3(x
1
+x
2
)的大小.
答案
(1)∵
f(x)=
1
3
x
3
-bx
,∴f"(x)=x
2
-b
设切点为(x
0
,y
0
),依题意得
1
3
x
30
-b
x
0
=
y
0
y
0
=-2
x
0
-
2
3
x
20
-b=-2
解得:b=3
(2)设
h(x)=f(x)-
x
2
-m=
1
3
x
3
-
x
2
-3x-m
则h"(x)=x
2
-2x-3=(x+1)(x-3).
1令h"(x)=023,得x=-14或x=35在(0,3)6上,h"(x)<07,
故h(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上,h"(x)>0,
故h(x)在(3,+∞)上单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需
h(0)=-m>0
h(3)=-9-m<0
,∴-9<m<0
此时存在x>3时,h(x)>0,例如当x=5时,
h=
125
3
-25=15-m=
5
3
-m>0
.
∴①所求m的范围是:-9<m<0.
②由①知,方程f(x)=x
2
+m2在(0,+∞)3上有两个解x
1
,x
2
,
满足0<x
1
<3,x
2
>3,x
1
x
2
+9-3(x
1
+x
2
)=(3-x
1
)(3-x
2
)<0,
x
1
x
2
+9<3(x
1
+x
2
).
举一反三
lim
x→1
x
x
-x
x-1
=( )
A.
1
2
B.
2
2
C.0
D.不存在
题型:不详
难度:
|
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函数y=sinx在点
(
π
3
,
3
2
)
处的切线的斜率为( )
A.1
B.
1
2
C.
2
2
D.
3
2
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
(1+x)
n
+aln(x+1)
,其中n∈N*,a为常数.
(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1时,若b
1
,b
2
,…,b
k
均非负数,且b
1
+b
2
+…+b
k
=1,求证:f(b
1
)+f(b
2
)+…+f(b
k
)≤k+1.
题型:不详
难度:
|
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定义在R上的可导函数y=f(x)在x=1处的切线方程是y=-x+2,则f(1)+f"(1)=( )
A.-1
B.
1
2
C.2
D.0
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
y=
x
2
2
+lnx
的一条切线的斜率为2,则此切线方程为( )
A.2x+y+1=0
B.4x+2y-3=0
C.4x-2y-3=0
D.2x-y-1=0
题型:不详
难度:
|
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