设函数f(x)=a3x3-32x2+(a+1)x+1,其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a
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设函数f(x)=a3x3-32x2+(a+1)x+1,其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a
题型:安徽
难度:
来源:
设函数
f(x)=
a
3
x
3
-
3
2
x
2
+(a+1)x+1
,其中a为实数.
(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x
2
-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
答案
(1)f′(x)=ax
2
-3x+(a+1)
由于函数f(x)在x=1时取得极值,
所以f′(1)=0
即a-3+a+1=0,∴a=1
(2)由题设知:ax
2
-3x+(a+1)>x
2
-x-a+1
对任意a∈(0,+∞)都成立
即a(x
2
+2)-x
2
-2x>0
对任意a∈(0,+∞)都成立
于是
a>
x
2
+2x
x
2
+2
对任意a∈(0,+∞)都成立,
即
x
2
+2x
x
2
+2
≤0
∴-2≤x≤0
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}.
举一反三
已知非零向量
a
、
b
满足
|
a
|=
3
|
b
|
,若函数
f(x)=
1
3
x
3
+|
a
|
x
2
+2
a
•
b
x+1
在R上有极值,则
<
a
,
b
>
的取值范围是( )
A.
[0,
π
6
]
B.
(0,
π
3
]
C.
(
π
6
,
π
2
]
D.
(
π
6
,π]
题型:潍坊二模
难度:
|
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曲线C:y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
-3x在x=±1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
1
,x
2
都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤4.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
y=-2x-
2
3
与曲线
f(x)=
1
3
x
3
-bx
相切.
(1)求b的值
(2)若方程f(x)=x
2
+m在(0,+∞)上有两个解x
1
,x
2
.
求:①m的取值范围 ②比较x
1
x
2
+9与3(x
1
+x
2
)的大小.
题型:江西模拟
难度:
|
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lim
x→1
x
x
-x
x-1
=( )
A.
1
2
B.
2
2
C.0
D.不存在
题型:不详
难度:
|
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