曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（　　）A．30°B．45°C．60°D．120°

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曲线y=x³上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

答案

对曲线y=x³求导，得，y′=3x²，
设切点B（x₀，x₀³），则B点处的切线斜率为3x₀²，
∴切线l的方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀）
令y=0，得A（

x₀，0）
∵|OA|=|AB|
∴|

x₀|=

(

)2+(x03)2

解方程得：x₀⁴=

∴切线l的斜率为3x₀²=

∴切线l的倾斜角为60°
故选C

举一反三

已知

lim

n→∞

(

2n2

n+1

-an-b)=2，其中a，b∈R，则a-b=______．

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求过点（4，

）的抛物线x²=4y的切线的方程．

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二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处切线互相垂直，则a+b的值为（　　）

A．

B．

C．

D．2

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设函数f（x）是定义在R上周期为2的可导函数，若f（2）=2，且

lim

x→0

f(x+2)-2

=-2，则曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程是（　　）

A．y=-2x+2

B．y=-4x+2

C．y=4x+2

D．y=-

x+2

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设函数f(x)=

x3-

x2+(a+1)x+1，其中a为实数．
（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

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曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（ ）A．30°B．45°C．60°D．120°