设f(x)=alnx+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(Ⅰ) 求a的值;(Ⅱ) 求函数f(x)的极值.
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设f(x)=alnx+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(Ⅰ) 求a的值;(Ⅱ) 求函数f(x)的极值.
题型:重庆
难度:
来源:
设
f(x)=alnx+
1
2x
+
3
2
x+1
,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 求函数f(x)的极值.
答案
(Ⅰ) 求导函数可得
f′(x)=
a
x
-
1
2
x
2
+
3
2
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
∴f′(1)=0,∴
a-
1
2
+
3
2
=0
,
∴a=-1;
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,
f(x)=-lnx+
1
2x
+
3
2
x+1
(x>0)
f′(x)=
-1
x
-
1
2
x
2
+
3
2
=
(3x+1)(x-1)
2
x
2
令f′(x)=0,可得x=1或x=
-
1
3
(舍去)
∵0<x<1时,f′(x)<0,函数递减;x>1时,f′(x)>0,函数递增
∴x=1时,函数f(x)取得极小值为3.
举一反三
设函数f(x)=ax
2
+bx+
3
4
在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线2x+4y-9=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求曲线y=f(x)和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积;
(Ⅲ)设函数g(x)=
e
x
f(x)
,若方程g(x)=m有三个不相等的实根,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线f(x)=2x
2
+a(x≥0)与曲线
g(x)=
x
(x≥0)
相切于点P,且在点P处有相同的切线l,求切线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=kx是曲线
y=
1
2
x
2
+lnx
在x=e处的切线,则k的值为( )
A.
e+
1
e
B.
e-
1
e
C.2e
D.0
题型:不详
难度:
|
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lim
n→∞
cos
n
θ-
sin
n
θ
cos
n
θ+
sin
n
θ
=-1(0≤θ≤
π
2
)成立的条件是( )
A.θ=
π
4
B.0≤θ<
π
4
C.
π
4
<θ≤
π
2
D.
π
4
≤θ≤
π
2
题型:不详
难度:
|
查看答案
曲线y=x
3
-1在x=1处的切线方程为 ______.
题型:惠州一模
难度:
|
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