已知在数列{an}中,a1=t,a2=t2,其中t>0,x=t是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.(1)求
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已知在数列{an}中,a1=t,a2=t2,其中t>0,x=t是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.(1)求
题型:不详
难度:
来源:
已知在数列{a
n
}中,a
1
=t,a
2
=t
2
,其中t>0,x=
t
是函数f(x)=a
n-1
x
3
-3[(t+1)a
n
-a
n+1
]x+1(n≥2)的一个极值点.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若
1
2
<t<2,b
n
=
2
a
n
1+
a
2n
(n∈N
*
),求证:
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n
<2
n
-
2
-
n
2
.
答案
(1)由题意得:f′(
t
)=0,
即3a
n-1
t-3[(t+1)a
n
-a
n+1
]=0
故a
n+1
-a
n
=t(a
n
-a
n-1
)(n≥2),
则当t≠1时,数列{a
n+1
-a
n
}是以t
2
-t为首项,t为公比的等比数列,
所以a
n+1
-a
n
=(t
2
-t)t
n-1
由a
n
=a
1
+(a
2
-a
1
)+(a
3
-a
2
)+…+(a
n
-a
n-1
)
=t+(t
2
-t)[1+t+t
2
+…+t
n-2
]
=t+(t
2
-t)•
1-
t
n-1
1-t
=t
n
此式对t=1也成立,所以a
n
=t
n
(n∈N
*
).
(2)
1
b
n
=
1
2
(a
n
+
1
a
n
)=
1
2
(t
n
+t
-n
),
因为
1
2
<t<2,所以(2t)
n
>1,t
n
<2
n
.
则(2
n
+2
-n
)-(t
n
+t
-n
)=
1
(2t)
n
(2
n
-t
n
)[(2t)
n
-1]>0,
有
1
b
n
<
1
2
(2
n
+2
-n
),
故
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n
<
1
2
[(2+
1
2
)+(2
2
+
1
2
2
)+…+(2
n
+
1
2
n
)]=2
n
-
1
2
(1+
1
2
n
),
∵1+
1
2
n
>2
1
2
n
∴
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n
<2
n
-
1
2
n
=2
n
-
2
-
n
2
即证.
举一反三
(Ⅰ)求函数f(x)=-
2px
(p>0)在点
P(2,-2
p
)
处的切方程;
(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l交抛物线y
2
=4x于A、B两点,直线l
1
、l
2
分别切该抛物线于A、B,l
1
∩l
2
=M,求点M的横坐标.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=x(x-1)
2
.
(1)求f(x)的极小值;
(2)讨论函数F(x)=f(x)+2x
2
-x-2axlnx零点的个数,并说明理由?
(3)设函数g(x)=e
x
-2x
2
+4x+t(t为常数),若使3-f(x)≤x+m≤g(x)在[0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数t的值.(e
7
>10
3
)
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=x
2
+bx+c在其上一点(1,2)处的切线与直线y=x-2平行,则b、c的值分别为______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=xe
x
的极小值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=asinx+cosx,a∈R;
(Ⅰ)若a=1,求过点
(
π
2
,1)
的切线方程;
(Ⅱ)若a=
f
′
(
π
2
)
,求
f(
π
4
)
的值.
题型:不详
难度:
|
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