(Ⅰ)求函数f(x)=-2px(p>0)在点P(2,-2p)处的切方程;(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,直线l1、l2分别切该抛物
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(Ⅰ)求函数f(x)=-2px(p>0)在点P(2,-2p)处的切方程;(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,直线l1、l2分别切该抛物
题型:不详
难度:
来源:
(Ⅰ)求函数f(x)=-
2px
(p>0)在点
P(2,-2
p
)
处的切方程;
(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l交抛物线y
2
=4x于A、B两点,直线l
1
、l
2
分别切该抛物线于A、B,l
1
∩l
2
=M,求点M的横坐标.
答案
(Ⅰ)∵
f(x)=-
2px
(p>0)
,∴
f′(x)=-
2p
2
x
,
所以切线的斜率为
f′(2)=-
p
2
.
∴所求切线方程为
y+2
p
=-
p
2
(x-2)
,即
y=-
p
2
x+3
p
.…5分
(Ⅱ)设直线l的方程为x=ky+1,设
A(
y
21
4
,
y
1
),B(
y
22
4
,
y
2
)
,
由方程组
x=ky+1
y
2
=4x
得,y
2
-4ky-4=0,∴y
1
y
2
=-4.…7分
因y
1
与y
2
异号,不妨假定y
1
>0,y
2
<0,
由
y=2
x
得
y′=
1
x
,所以过点A的抛物线的切线l
1
斜率为
1
y
21
4
=
2
y
1
,
所以切线l
1
的方程是
y-
y
1
=
2
y
1
(x-
y
21
4
)
,即
y=
2
y
1
x+
y
1
2
同理可求得以B为切点的l
2
线方程是
y=
2
y
2
x+
y
2
2
,
由两切线方程得
2
y
1
x+
y
1
2
=
2
y
2
x+
y
2
2
,解得
x=
y
1
y
2
4
=-1
所以点M的横坐标是-1.…12分.
举一反三
设函数f(x)=x(x-1)
2
.
(1)求f(x)的极小值;
(2)讨论函数F(x)=f(x)+2x
2
-x-2axlnx零点的个数,并说明理由?
(3)设函数g(x)=e
x
-2x
2
+4x+t(t为常数),若使3-f(x)≤x+m≤g(x)在[0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数t的值.(e
7
>10
3
)
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=x
2
+bx+c在其上一点(1,2)处的切线与直线y=x-2平行,则b、c的值分别为______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=xe
x
的极小值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=asinx+cosx,a∈R;
(Ⅰ)若a=1,求过点
(
π
2
,1)
的切线方程;
(Ⅱ)若a=
f
′
(
π
2
)
,求
f(
π
4
)
的值.
题型:不详
难度:
|
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设直线l是曲线
f(x)=
x
3
-
3
x+2
上的一条切线,则切线l斜率最小时对应的倾斜角为______.
题型:不详
难度:
|
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