已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0).(I)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;(II)设F(x)=f
题型:朝阳区三模难度:来源:
已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0). (I)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值; (II)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值. |
答案
(I)因为f(1)=0,g(1)=0, 所以点(1,0)同时在函数f(x),g(x)的图象上(1分) 因为f(x)=x2-1,g(x)=alnx,f"(x)=2x,(3分)g′(x)=(5分) 由已知,得f"(1)=g"(1),所以2=,即a=2(6分)
(II)因为F(x)=f(x)-2g(x)=x2-1-2alnx(x>0)(7分) 所以F′(x)=2x-=(8分) 当a<0时,因为x>0,且x2-a>0,所以F"(x)>0对x>0恒成立, 所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,F(x)无极值(10分) 当a>0时,令F"(x)=0,解得x1=,x2=-(舍)(11分) 所以当x>0时,F"(x),F(x)的变化情况如下表:
(13分) 所以当x=时,F(x)取得极小值,且F()=()2-1-2aln=a-1-alna.(14分) 综上,当a<0时,函数F(x)在(0,+∞)上无极值; 当a>0时,函数F(x)在x=处取得极小值a-1-alna. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(0)=0,曲线y=f(x)在点x=1处的切线l的斜率为3,且当x=,y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. |
已知函数f(x)=x3-x2+ax-a(a∈R). (Ⅰ)当a=-3时,求函数f(x)的极值; (Ⅱ)若函数f(x)的图象与x轴有三个不同的交点,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=(2x2-kx+k)•e-x. (1)当k为何值时,f(x)无极值; (2)试确定实数k的值,使f(x)的极小值为0. |
已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+3(m+2)x+1,其中m∈R. (I)若m<0,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)在(I)的条件下,当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围; (Ⅲ)设g(x)=mx3-(3m+2)x2+3mx+4lnx+m+1,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. |
若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线,则实数m的值为______. |
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