已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+3(m+2)x+1,其中m∈R.(I)若m<0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在(I)的条件下,当x∈[-1,1]时,

已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+3(m+2)x+1,其中m∈R.(I)若m<0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在(I)的条件下,当x∈[-1,1]时,

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已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+3(m+2)x+1,其中m∈R.
(I)若m<0,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在(I)的条件下,当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=mx3-(3m+2)x2+3mx+4lnx+m+1,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
答案
(I)∵f(x)=mx3-3(m+1)x2+3(m+2)x+1,
∴f"(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+
2
m
)]
…(2分)
当m<0时,有1>1+
2
m

当x变化时,f(x)与f"(x)的变化如下表:
举一反三
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x(-∞,1+
2
m
)
1+
2
m
(1+
2
m
,1)
1(1,+∞)
f"(x)<00>00<0
f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减
若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线,则实数m的值为______.
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+1=0平行.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在t∈N*,使得方程f(x)+
37
x
=0
在区间(t,t+1)内有两个不等的实数根?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(  )
A.有最大值,但无最小值B.有最大值、最小值
C.无最大值、最小值D.无最大值,有最小值
已知a∈R,函数f(x)=
a
x
+lnx-1
,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(2)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
奇函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1处有极值,则3a+b+c的值为______.