(1)∵f(x)=+lnx-1, ∴f′(x)=-+= 令f"(x)=0,得x=a. ①若a≤0,则f"(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. ②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f"(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当x∈(a,e]时,f"(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna ③若a≥e,则f"(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值. .综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna; 当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为. (2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,x∈(0,e], ∴g"(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=+(lnx-1)ex+1=(+lnx-1)ex+1. 由(1)可知,当a=1时,f(x)=+lnx-1. 此时f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln1=0,即+lnx-1≥0.(10分) 当x0∈(0,e],ex0>0,+lnx0-1≥0, ∴g′(x0)=(+lnx0-1)ex0+1≥1>0. 曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g"(x0)=0有实数解.(13分) 而g"(x0)>0,即方程g"(x0)=0无实数解.、故不存在x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直. |