已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若k∈Z,且k<f(x)x-1对任意x>1恒成

已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若k∈Z,且k<f(x)x-1对任意x>1恒成

题型:广州二模难度:来源:
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值;
(2)若k∈Z,且k<
f(x)
x-1
对任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)当n>m≥4时,证明(mnnm>(nmmn
答案
(1)因为f(x)=ax+xlnx,所以f"(x)=a+lnx+1.(1分)
因为函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3,
所以f"(e)=3,即a+lne+1=3.
所以a=1.(2分)
(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,
所以k<
f(x)
x-1
对任意x>1恒成立,即k<
x+xlnx
x-1
对任意x>1恒成立.(3分)
g(x)=
x+xlnx
x-1

g′(x)=
x-lnx-2
(x-1)2
,(4分)
令h(x)=x-lnx-2(x>1),
h′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
>0

所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.(5分)
因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g"(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g"(x)>0,(6分)
所以函数g(x)=
x+xlnx
x-1
在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
所以[g(x)]min=g(x0)=
x0(1+lnx0)
x0-1
=
x0(1+x0-2)
x0-1
=x0∈(3,4)
.(7分)
所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4).
故整数k的最大值是3.(8分)
(3)证明:由(2)知,g(x)=
x+xlnx
x-1
是[4,+∞)上的增函数,(9分)
所以当n>m≥4时,
n+nlnn
n-1
m+mlnm
m-1
.(10分)
即n(m-1)(1+lnn)>m(n-1)(1+lnm).
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n-m).(11分)
因为n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.(12分)
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnnm>(nmmn.(14分)
证明2:构造函数f(x)=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx,(9分)
则f"(x)=(m-1)lnx+m-1-mlnm.(10分)
因为x>m≥4,所以f"(x)>(m-1)lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm>0.
所以函数f(x)在[m,+∞)上单调递增.(11分)
因为n>m,所以f(n)>f(m).
所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn>m2lnm+mlnm-m2lnm-mlnm=0.(12分)
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnnm>(nmmn.(14分)
举一反三
设函数f(x)=x2+lnx,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ax+b,则a+b=______.
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在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-1的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线8x-y+2=0平行,若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn,则S2010的值______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知f(x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0),g(x)=-
ln(-x)
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,|f(x)|>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
曲线C:f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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