在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______. |
答案
根据题意设P的坐标为(t,-t3+1),且0<t<1, 求导得:y′=-3x2,故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2, 所以切线方程为:y-(-t3+1)=-3t2(x-t), 令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=, 所以△AOB的面积S=(2t3+1)•=(2t2+) 2, 设y=2t2+=2t2++≥3, 当且仅当2t2=,即t3=,即t=取等号, 把t=代入得:Smin=. 故答案为: |
举一反三
已知函数f(x)=ax2-1的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线8x-y+2=0平行,若数列{}的前n项和为Sn,则S2010的值______. |
已知f(x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0),g(x)=-,其中e是自然常数,a∈R. (1)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,|f(x)|>g(x)+. (3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由. |
曲线C:f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为______. |
设函数f(x)=x2-alnx与g(x)=x-的图象分别交直线x=1于点A,B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行(斜率相等). (1)求函数f(x),g(x)的表达式; (2)当a>1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值; (3)当a<1时,不等式f(x)≥m•g(x)在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围. |
若曲线y=ex+a与直线y=x相切,则a的值为______. |
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