已知函数f（x）=（2x2-kx+k）•e-x．（1）当k为何值时，f（x）无极值；（2）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0．

题型：淄博二模难度：来源：

已知函数f（x）=（2x²-kx+k）•e^-x．
（1）当k为何值时，f（x）无极值；
（2）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0．

答案

（1）∵f′（x）=（4x-k）e^-x-（2x²-kx+k）e^-x
=[-2x²+（k+4）x-2k]e^-x=-2(x-2)(x-

k

2

)e-x
∴k=4时，f′（x）=-2（x-2）²e^-x≤0，此时，f（x）无极值．（5分）
（2）当k≠4时，由f′（x）=0得x=2或x=

k

2

．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：
①当k＜4，即

k

2

＜2时



②当k＞4，即

k

2

＞2时



∴k＜4时，由f(

k

2

)=0得2×

k2

4

-

k2

2

+k=0，
∴k=0k＞4时，由f（2）=0得8-k=0，∴k=8
综上所述，k=0或8时，f（x）有极小值0．（12分）