已知函数f(x)=2x3-3x2+3.(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根,求实数m的
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已知函数f(x)=2x3-3x2+3. (1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根,求实数m的取值范围. |
答案
(1)当x=2时,f(2)=7 故切点坐标为(2,7) 又∵f′(x)=6x2-6x. ∴f′(2)=12 即切线的斜率k=12 故曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-7=12(x-2) 即12x-y-17=0 (2)令f′(x)=6x2-6x=0,解得x=0或x=1 当x<0,或x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数, 当0<x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数, 故当x=0时,函数f(x)取极大值3, 当x=1时,函数f(x)取极小值2, 若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根,则2<-m<3,即-3<m<-2 故实数m的取值范围为(-3,-2) |
举一反三
曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是______. |
曲线f(x)=2x2-x3在x=1处的切线方程为______. |
已知函数f(x)=ax3-3x2+1-(a∈R且a≠0),试求函数f(x)的极大值与极小值. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确结论的序号为______. ①当x=时函数取得极小值; ②f(x)有两个极值点; ③当x=2时函数取得极小值; ④当x=1时函数取得极大值. |
已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0). (I)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值; (II)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值. |
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