已知函数f（x）=x3-3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值
题型：潮州二模难度：来源：
已知函数f（x）=x3-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围． |
答案
（1）f"（x）=3x2-3，f"（2）=9，f（2）=23-3×2=2（2分）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0）
则y0=x03-3x0，k=f"（x0）=3x02-3．
则切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）（6分）
将A（1，m）代入上式，整理得2x03-3x02+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根、（8分）
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g"（x）=6x2-6x=6x（x-1）、
令g"（x）=0，x=0或1、（10分）
则x，g"（x），g（x）的变化情况如下表
| x | （-∞，0） | 0 | （0，1） | 1 | （1，+∞） | | g"（x） | + | 0 | - | 0 | + | | g（x） | 递增 | 极大 | 递减 | 极小 | 递增 |
举一反三
| 已知函数f（x）=，则函数f（x）在点（0，f（0））处切线方程为______． | 已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． | 设函数f（x）=1-ex的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P的切线方程为（ ）| A．y=-x+1 | B．y=x+1 | C．y=-x | D．y=x |
| 已知函数f（x）=ax3+bx2-9x在x=3处取得极大值0．
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围． | 已知函数f(x)=x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-＞a2恒成立，求a的取值范围． |
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