已知曲线f（x）=x3-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R（Ⅰ）当a=43时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围（Ⅱ）若对任意的实数m，直线

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已知曲线f（x）=x³-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）当a=

时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围
（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，
（ⅰ）试求a的取值范围；
（ⅱ）当x∈[-1，1]时，曲线f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于

．试证明你的结论．

答案

（Ⅰ）当a=

时，f（x）=x³-4x
∵曲线f（x）与直线有三个交点
∴x³-4x=-x+m有三个不同的根
∴x³-3x=m有三个不同的根，
令g（x）=x³-3x，g"（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴g（x）在（-1，1）上递减，（1，+∞），（-∞，-1）上递增g（-1）_极大值=2，g（1）_极小值=-2
∴当-2＜m＜2时，曲线f（x）与直线有三个交点
（Ⅱ）（i）f（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞]，
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不与y=（x）相切，
∴-1不属于[-3a，+∞]，-1＜-3a，实数a的取值范围是a＜

；
（ii）存在，证明方法1：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|_max≥

，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，|f（x）|_max≥

，
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞

；
②当0＜a＜

时f′（x）=3x²-3a=3（x+

）（x-

），
列表：

举一反三

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