已知关于x的函数 ，其导函数f′（x）．（1）如果函数 ，试确定b、c的值；（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）﹣c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜

题型：期末题难度：来源：

已知关于x的函数 ，其导函数f′（x）．
（1）如果函数 ，试确定b、c的值；
（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）﹣c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤1，求实数b的取值范围．

答案

解：（1）f′（x）=﹣x²+2bx+c
∵函数f（x）在x=1处有极值 
∴ 解得 或 
（i）当b=1，c=﹣1时，f′（x）=﹣（x﹣1）²≤0
所以f（x）在R上单调递减，不存在极值
（ii）当b=﹣1，c=3时，f′（x）=﹣（x+3）（x﹣1）
x∈（﹣3，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处存在极大值，符合题意．
综上所述，满足条件的值为b=﹣1，c=3
（2）当x∈（0，1）时，函数y=f（x）﹣c（x+b）=﹣ x³+bx²，
设图象上任意一点P（x₀，y₀），则k=y′ =﹣ +2bx₀，x₀∈（0，1），
因为k≤1，所以对任意x₀∈（0，1），﹣ +2bx₀≤1恒成立
所以对任意x₀∈（0，1），不等式b≤ 恒成立
设g（x）= ，则g′（x）= ，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0
故g（x）在区间（0，1）上单调递减
所以对任意x₀∈（0，1），g（x₀）＞g（1）=1
所以b≤1．