若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点。已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。
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若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点。已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。 (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点; (3)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数。 |
答案
解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx,得 f′(x)=3x2+2ax+b ∵1和-1是函数f(x)的两个极值点, ∴f′(1)=3-2a+b=0,f′(-1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3。 (2)由(1)得,f(x)=x3-3x, ∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0, 解得x1=x2=1,x3=-2 ∵当x<-2时,g′(x)<0; 当-2<x<1时,g′(x)>0, ∴-2是g(x)的极值点 ∵当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0, ∴1不是g(x) 的极值点 ∴g(x)的极值点是-2。 (3)令f(x)=t,则h(x)=f(t)-c 先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[-2,2] 当|d|=2时,由(2 )可知,f(x)=-2的两个不同的根为1和-2, 注意到f(x)是奇函数, ∴f(x)=2的两个不同的根为-1和2 当|d|<2时,∵f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0, ∴-2,-1,1,2 都不是f(x)=d 的根 由(1)知,f′(x)=3(x+1)(x-1) ①当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数, 从而f(x)>f(2)=2 此时f(x)=d在(2,+∞)无实根 ②当x∈(1,2)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数 又∵f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的图象不间断, ∴f(x)=d在(1,2 )内有唯一实根 同理,在(-2,-I1)内有唯一实根 ③当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,于是f(x)是单调减函数 又∵f(1)-d>0,f(2)-d<0,y=f(x)-d的图象不间断, ∴f(x)=d在(-1,1 )内有唯一实根 因此,当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2,满足|x1|=1,|x2|=2; 当|d|<2时,f(x)=d 有三个不同的根x3,x4,x5,满足|xi|<2,i=3,4,5 现考虑函数y=h(x)的零点: ( i )当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足|t1|=1,|t2|=2 而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根, 故y=h(x)有5 个零点。 ( i i )当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5,满足|ti|<2,i=3,4,5 而f(x)=ti有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点 综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点; 当|c|<2时,函数y=h(x)有9 个零点。 |
举一反三
设函数,g(x)=2x2+4x+c. (1)试问函数f(x)能否在x=﹣1时取得极值?说明理由; (2)若a=﹣1,当x∈[﹣3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求c的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1和x=3处有极值. (1)求a,b的值; (2)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程. |
已知实数a<0,函数f(x)=ax(x﹣1)2+a+1(x∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若f(x)有极大值﹣7,求实数a的值. |
已知函数.当x=2时,函数f(x)取得极值. (I)求实数a的值; (II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围. |
已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x). (1)求曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围; (2)若当x=﹣1时函数y=g(x)取得极值,确定y=g(x)的单调区间. |
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