已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1和x=3处有极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=﹣1和x=3处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．

答案

解：（1）由题意，∵函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=﹣1和x=3处有极值
∴f′（x）=3x²+6ax+b的解为﹣1，3
∴

，
∴

（2）由（1）知，f′（x）=3x²﹣6x﹣9
当x=1时，f′（1）=3﹣6﹣9=﹣12
当x=1时，f（1）=1﹣3﹣9+1=﹣10
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+10=﹣12（x﹣1），即12x+y﹣2=0．

举一反三

已知实数a＜0，函数f（x）=ax（x﹣1）²+a+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有极大值﹣7，求实数a的值．

题型：福建省月考题难度：| 查看答案

已知函数

．当x=2时，函数f（x）取得极值．
（I）求实数a的值；
（II）若1≤x≤3时，方程f（x）+m=0有两个根，求实数m的取值范围．

题型：山东省月考题难度：| 查看答案

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．

题型：江苏省期末题难度：| 查看答案

已知曲线f（x）=x³+ax²+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且

是y=f（x）的极值点，则a+b=（）．

题型：山东省期末题难度：| 查看答案

函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x₀，f（x₀））处的切线为：l：y=g（x）=f′（x₀）（x﹣x₀）+f（x₀），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x₀＜b，那么

[ ]
A．F′（x₀）=0，x=x₀是F（x）的极大值点
B．F′（x₀）=0，x=x₀是F（x）的极小值点　
C．F′（x₀）≠0，x=x₀不是F（x）极值点
D．F′（x₀）≠0，x=x₀是F（x）极值点

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