已知函数f（x）=ax3+bx2+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．（1）用a分别表示b和c；（2）当a=l时，求f（x

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．
（1）用a分别表示b和c；
（2）当a=l时，求f（x）的极小值；
（3）求a的取值范围．

答案

解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx﹣3a，∴f"（x）=3ax² +2bx+c．
由题意可得 ，即 ，解得 ．
（2）当a=l时，b=2，c=1，函数f（x）=x³ +2x² +x﹣3，
令f"（x）=3x² +4x+1=（3x+1）（x+1）=0，可得x=﹣1 x=﹣．
在（﹣∞，﹣1）、（﹣，+∞）上，f?（x）＜0，在（﹣1，﹣）上f"（x）＞0，
故当 x=﹣时，函数f（x）有极小值为f（﹣）=．
（3）由（1）得f"（x）=3ax²+2（a+1）x+2﹣a=3a（x+1）（x﹣），
令f"（x）=0解得x₁=﹣1，x₂=，
∴要使f（x）极大值为f（﹣1）=2，
则 ，或 ．
解得 a＞．