已知如图抛物线l1与x轴的交点的坐标为(-1,0)和(-5,0),与y轴的交点坐标为(0,2.5).(1)求抛物线l1的解析式;(2)抛物线l2与抛物线l1关于

已知如图抛物线l1与x轴的交点的坐标为(-1,0)和(-5,0),与y轴的交点坐标为(0,2.5).(1)求抛物线l1的解析式;(2)抛物线l2与抛物线l1关于

题型:不详难度:来源:
已知如图抛物线l1与x轴的交点的坐标为(-1,0)和(-5,0),与y轴的交点坐标为(0,2.5).
(1)求抛物线l1的解析式;
(2)抛物线l2与抛物线l1关于原点对称,现有一身高为1.5米的人撑着伞与抛物线l2的对称轴重合,伞面弧AB与抛物线l2重合,头顶最高点C与伞的下沿AB在同一条直线上(如图所示不考虑其他因素),如果雨滴下降的轨迹是沿着直线y=mx+b运动,那么不被淋到雨的m的取值范围是多少?
(3)将伞的下沿AB沿着抛物线l2对称轴上升10厘米至A1B1,A1B1比AB长8厘米,抛物线l2除顶点M不动外仍经过弧A1B1(其余条件不变),那么被雨淋到的几率是扩大了还是缩小了,说明理由.
答案
(1)由于抛物线l1经过(-1,0),(-5,0),(0,2.5),
设其解析式为:y=a(x+1)(x+5),则有:
a(0+1)(0+5)=2.5,即a=0.5;
∴抛物线l1:y=0.5(x+1)(x+5)=0.5x2+3x+2.5.

(2)∵抛物线l1:y=0.5(x+3)2-2,且抛物线l1、l2关于原点对称,
∴抛物线l2:y=-0.5(x-3)2+2=-0.5x2+3x-2.5;
当y=1.5时,-0.5x2+3x-2.5=1.5,
整理得:x2-6x+8=0,
解得x=2,x=4;
即A(2,1.5),B(4,1.5),M(3,2);
设抛物线的对称轴与x轴的交点为N,则N(3,0);
则直线AN的斜率:k1=
0-1.5
3-2
=-1.5,
直线BN的斜率:k2=
0-1.5
3-4
=1.5;
若要不被雨淋到,m的取值范围为:-1.5<m<1.5.

(3)由题意知:tan∠A1NC=
1.04
1.6
=
13
20
=
39
60

tan∠ANC=
1
1.5
=
2
3
=
40
60

故∠A1NC<∠ANC,∠A1NB1<∠ANB,
所以被雨淋到的几率增大了.
举一反三
如图,有一座抛物线形的拱桥,桥下的正常水位为OA,此时水面宽为40米,水面离桥的最大高度为16米,则拱桥所在的抛物线的解析式为______.
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)题中的抛物线上有一个动点P,当点P在抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标;
(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-3


3
,1)、C(-3


3
,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-


3
,1)、F(-
4


3
3
,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′.
(1)求折痕所在直线EF的解析式;
(2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式;
(3)能否在直线EF上求一点P,使得△PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.
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唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题:
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
作法如下:如(1)图,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在AP的延长线上,取B关于河岸的对称点B′,连接AB′,与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到P,饮马之后,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的.
(1)观察发现
再如(2)图,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,点E、F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.
作点B关于EF的对称点,恰好与点C重合,连接AC交EF于一点,则这点就是所求的点P,故BP+AP的最小值为______.

(2)实践运用
如(3)图,已知⊙O的直径MN=1,点A在圆上,且∠AMN的度数为30°,点B是弧AN的中点,点P在直径MN上运动,求BP+AP的最小值.

(3)拓展迁移
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
①求这条抛物线所对应的函数关系式;
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使△ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值.(结果保留根号)
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如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(2,0),B(5,3).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集(直接写出答案);
(3)若抛物线与y轴交于C,求△ABC的面积.
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