已知函数f(x)=1-x2（1） 判断函数的奇偶性；（2） 证明函数f（x）在[-1，0]为增函数，并判断它在[0，1]上的单调性；（3） 求f（x）的最大值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

1-x2

（1） 判断函数的奇偶性；
（2） 证明函数f（x）在[-1，0]为增函数，并判断它在[0，1]上的单调性；
（3） 求f（x）的最大值．

答案

（1）由1-x²≥0，得，即函数的定义域为x|-1≤x≤1，关于原点对称．
又f(x)=

1-x2

，则f(-x)=

1-x2

=f（x）
所以函数f(x)=

1-x2

是偶函数．
（2）设-1≤x₁＜x₂≤0，则f（x₁）-f（x₂）=

1-x12

-

1-x22

=

( 1-x12 - 1-x22 )( 1-x12 + 1-x22 )

1-x12 + 1-x22

=

(1-x12)-(1-x22)

1-x12 + 1-x22

=

x22-x12

1-x12 + 1-x22

=

(x2-x1)(x2+x1)

1-x12 + 1-x22

因为-1≤x₁＜x₂≤0，所以x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，

1-x12

+

1-x22

＞0
所以

(x2-x1)(x2+x1)

1-x12 + 1-x22

＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在[-1，0]上是增函数．
同理可得：函数f（x）在[0，1]上是减函数．
（3）因为函数f（x）在[-1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，
所以当x=0时f（x）可取最大值，
即y_max=f（0）=1