解:(Ⅰ)函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域在(﹣1,+∞)
令g(x)=2x2+2x+b, 则g(x)在上递增,在上递减, g(x)=2x2+2x+b>0在(﹣1,+∞)上恒成立, 所以f"(x)>0即当,函数f(x)在定义域(﹣1,+∞)上单调递增. (Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知当函数f(x)无极值点 (2)当时,, ∴ , ∴时,函数f(x)在(﹣1,+∞)上无极值点 (3)当时,解f"(x)=0得两个不同解 当b<0时, ∴x1∈(﹣1,+∞),x2∈(﹣1,+∞), 此时f(x)在(﹣1,+∞)上有唯一的极小值点 当时,x1,x2∈(﹣1,+∞)f"(x)在(﹣1,x1),(x2,+∞)都大于0,f"(x)在(x1,x2)上小于0, 此时f(x)有一个极大值点和一个极小值点 综上可知,b<0,时,f(x)在(﹣1,+∞)上有唯一的极小值点 时,f(x)有一个极大值点和一个极小值点 时,函数f(x)在(﹣1,+∞)上无极值点. (Ⅲ)当b=﹣1时,f(x)=x2﹣ln(x+1).令上恒正 ∴h(x)在[0,+∞)上单调递增, 当x∈(0,+∞)时,恒有h(x)>h(0)=0 即当x∈(0,+∞)时,有x3﹣x2+ln(x+1)>0,ln(x+1)>x2﹣x3,对任意正整数n,取 |