已知函数（b、c为常数），f（x）在x=1处和x=3处取得极值．（1）  求f（x）的解析式；（2） 求f（x）的单调区间．

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数（b、c为常数），f（x）在x=1处和x=3处取得极值．
（1）  求f（x）的解析式；
（2） 求f（x）的单调区间．

答案

解：（1）∵函数（b、c为常数），
∴f"（x）=x²+（b﹣1）x+c．
再由f（x）在x=1处和x=3处取得极值可得，
1和3是方程 x²+（b﹣1）x+c=0的两个根．
∴1+3=b﹣1，
1×3=c，解得  b=5，c=3．
故f（x）=，f"（x）=x²+4x+3．
（2）  令f"（x）=x²+4x+3＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，故减区间为（﹣3，﹣1）．
再令f"（x）=x²+4x+3＞0，解得 x＞﹣1，或 x＜﹣3，
故增区间为（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）．