已知函数f（x）=x3﹣3ax+b在x=1处有极小值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

题型：福建省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=x³﹣3ax+b在x=1处有极小值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

答案

解：（I）f"（x）=3x²﹣3a
依题意有，
解得，
此时f"（x）=3x²﹣3=3（x﹣1）（x+1），x∈（﹣1，1），f"（x）＜0，x∈（1，+∞），f"（x）＞0，满足f（x）在x=1处取极小值
∴f（x）=x³﹣3x+4
（Ⅱ）f"（x）=3x²﹣3
∴
当m=0时，g（x）=﹣2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一个零点（符合），
当m≠0时，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点．
则，得
②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，
则g（0）g（2）≤0，即（﹣m+3）（3m﹣1）≤0，
解得，或m≥3
经检验m=3有2个零点，不满足题意．
综上：m的取值范围是，或，或m＞3