已知函数f（x）=，（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k

题型：山东省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

答案

解：（1）∵f（x）=
∴f′（x）==
∵函数f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=a﹣1=0
∴a=1
经检验，a=1时f′（x）=﹣
故0＜x＜1时f′（x）＞0，x＞1时f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减
故f（x）在x=1处取得极值．∴a=1
（2）由（1）可知a=1∴f（x）=
∴f′（x）=﹣
设切点A（x₀，y₀）
∴k=f′（x₀）=﹣
又∵k=k_OA=
∴=﹣
∴lnx0=﹣
∴
∴k=k_OA===