函数f（x）=ax3﹣6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y﹣11=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）的图象与的图象

题型：山东省期末题难度：来源：

函数f（x）=ax³﹣6ax²+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y﹣11=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）由题意得f"（x）=3ax²﹣12ax+3b，f"（2）=﹣3且f（2）=5，
∴即解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³﹣6x²+9x+3．
（2）由f（x）=x³﹣6x²+9x+3，
可得f"（x）=3x²﹣12x+9，=x²+x+3+m，
则由题意可得x³﹣6x²+9x+3=x²+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x³﹣7x²+8x﹣m的图象与x轴有三个不同的交点，
g"（x）=3x²﹣14x+8=（3x﹣2）（x﹣4），
则g（x），g"（x）的变化情况如下表．

则函数f（x）的极大值为，极小值为g（4）=﹣16﹣m．
y=f（x）的图象与的图象有三个不同交点，
则有：解得．