解:(1)当, 故f"(1)=﹣1+2=1, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1. (2)f"(x)=﹣x2+2x+m2﹣1,令f"(x)=0,解得x=1﹣m或x=1+m. ∵m>0,所以1+m>1﹣m,当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)在(﹣∞,1﹣m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1﹣m,1+m)内是增函数. 函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1﹣m),且f(1﹣m)=, 函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=. (3)由题设,, ∴方程有两个相异的实根x1,x2, 故,∵m>0 解得m, ∵x1<x2,所以2x2>x1+x2=3, 故x2>. ∵对任意的x∈[x1,x2],x﹣x1≥0,x﹣x2≤0, 则, 又f(x1)=0,所以f(x)在[x1,x2]上的最小值为0, 于是对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m2﹣<0, 解得, ∵由上m, 综上,m的取值范围是(,). |